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第321章（第2页）

不可达基数k就是对任意小于k的基数，取幂集的基数仍然小于k并且由任意小于k个小于k的集组之并的基数仍然小于k。而对比弱不可达基数只要满足＜k的任意基数的后继仍然＜k就行。而具有以上相同性质的可数基数就是阿列夫零。

马洛基数：又称马赫罗基数，对于所有k，正则基数b的初始段（即b以下的所有基数）中都包含一个k基数。这里的k在这个基数以上所有的正则无限基数的并集中，删去所有小于k的基数后，剩余的基数集合是一个k的闭集。也就是一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集取驻集族为{a{o，1}都存在一个k个元素的子集使f在这个集上的值相同。也是，最小不可达基数k，需要满足cfk=k，a＜k→2^a＜k的基数，一个2-不可达基数k是第k个不可达基数，一个不可达基数就是k-不可达基数，每一个马洛基数k之下的不可达基数组成驻集，小于k的所有正则基数集合是k的驻子集，则k为马洛基数，说明白点就是任意不可达基数k，其他不可达基数在这个k前面形成无界闭集，则此k为马洛基数，第马洛基数个不可达基数一定是马洛基数。然后是2-马洛基数，下面的马洛基数形成驻集，马洛基数，k是k-马洛基数。

不可描述基数：基数k称为∏n不可描述基数如果对于每个∏m命题(φ，并且设置a?∨k与(Vk+n，∈，a）╞φ存在一个a＜k与(Va+n，∈，anVa）╞φ。这里看一下具有m-1个量词交替的公式，最外层的量词是通用的。∏n不可描述基数以类似的方式定义。这个想法是，即使具有额外的一元谓词符号（对于a）的优势，也无法通过具有m-1次量词交替的n+1阶逻辑的任何公式将k与较小的基数区分开来（从下面看）。这意味着它很大，因为这意味着必须有许多具有相似属性的较小基数。如果基数k是∏nm，则称它是完全不可描述的——对于所有正整数m和n都难以描述。也是，这里不可描述基数是指一类大基数，指用∏nm或者是∑nm公式的概念和模型论工具所定义的基数，若对任何仅含一个二阶自由变元x的∏nm公式或∑nm公式Φ(x），当有a层结构〈Va，∈?Va，R〉满足Φ(R）时，即〈Va，∈?Va，R〉?Φ(R）成立时，存在b＜a，使b层子结构也满足Φ(R），即〈Vb，∈?Vb，RnVb〉?Φ(RnVb），则称基数a为∏mn或∑mn不可描述基数，注意到反射原理是指全域中的任何一阶公式可以用某一层Vb中的相对化公式来代替，此处的不可描述性，就是指，在a层结构中真的公式，必可在a之前的某b层中为真，公式加以适当的限制，这种不可描述基数必然是很大的一类大基数，k是强不可达基数，当且仅当k是∏1o不可描述基数，又当且仅当k是∑11不可描述基数，k是弱紧基数，当且仅当k是∏11不可描述基数，若k是可测基数，则k是∏21不可描述基数。

可迭代基数：将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-滤器，允许通过任意长度的幂进行有根据的迭代。gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterab1e如果仅需要长度为a的幂迭代才能有充分根

拉姆齐基数：让[k]＜表示k的所有有限子集的集合。如果对于每个函数，基数k称为Ramsey

f:[k]＜→{o，1}

存在基数为k的集合a对于f是齐次的。也就是说，对于每个n，函数f在a的基数n的子集上是常数。如果a可以被选为k的固定子集，则基数k被称为不可言说的Ramsey。如果对于每个函数，基数k实际上被称为Ramsey

f:[k]＜→{o，1}

存在c，它是k的一个闭无界子集，因此对于c中具有不可数共尾性的每个λ，都存在一个与f齐次的入的无界子集；稍微弱一点的是1amostRamsey的概念，其中对于每个λ＜k，需要有序类型λ的f的同质集。

将基数k定义为可迭代的，前提是k的每个子集都包含在弱k-模型m中，其中在k上存在一个m-滤器，允许通过任意长度的幂进行有根据的迭代。

gitman给出了一个更好的概念，其中一个基数k被定义为a-iterab1e如果仅需要长度为a的幂迭代才能有充分根据。

也就是，拉姆齐基数定理确立了具有R基数推广到不可数情况的特定性质，令让[k]＜表示k的所有有限子集的集合，一个不可数的基数k称为R如果，对于每个函数f:[k]＜→{o，1}，有一个基数k的集合a对于f是齐次的，也就是说，对于每个n，函数f在来自a的基数n的子集上是常数，如果a可以选择为k的平稳子集，则基数k被称为不可称的R，如果对于每个函数，基数k实际上称为Rf:[k]＜→{o，1}，有c是k的一个封闭且无界的子集，因此对于c中的每个λ具有不可数的共尾性，有一个λ的无界子集对于f是同质的；稍微弱一点的是几乎R的概念，其中对于每个λ＜k，f的齐次集都需要阶类型λ，这些R基数中的任何一个的存在都足以证明o#的存在，或者实际上每个秩小于k的集合都有一个尖，每个可测基数都是R大基数，每个R大基数都是R大基数，介于R和可测性之间的强度中间属性是k上存在k完全正态非主理想I使得对于每个a?I和对于每个函数，f:[k]＜→{o，1}，有一个集合B?a不在I中，对于f是齐次的，R基数的存在意味着o#的存在，这反过来又意味着kurt的可构公理的错误。

强拉姆齐基数：一个为k的强拉姆齐基数，而且仅当对于每一个a?k位于一个存在k上的弱自可的k-模型m，k-模型m可数完备，〈m，u〉满足k-完备，它必然是正确的，因为m在长度小于k的序列下是封闭的。强拉姆齐基数的力迫相关性质与之前的拉姆齐基数相同，强拉姆齐基数的一致性强于拉姆齐基数。

弱紧致基数：(位于马洛基数后）

k是弱紧致基数是指不可数且满足k→(k）。

所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lk，k-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性）记载了两个弱紧致基数的定义。

前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。

先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。

也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数k被称为弱紧的，如果k是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lkk中任何只用到≤k个非逻辑符号的语句集a有模型，当且仅当a的每个基数k的子语句集有模型，则称基数k是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于k，k是弱紧基数与以下各条等价：

1。k具有分划性k→(k）22。

2。对任何基数γk及n，k具有分划性质k→(k）nγ。

3。k是强不可达基数且有数性质，k是弱紧基数还与下列这些性质等价。

4。k是滤性质。

5。k有弱滤性质且k是强不可达基数。

6。k有Vk可扩张性质。

7。k有序性质。

8。k是π11不可描述基数。

汉弗(hanf，。p。）于。）于1977年的工作结合起来，得到如下结论：

弱紧致基数k是强马赫罗基数，并且k以下的强马赫罗基数的集合是k的驻子集。通常的一阶逻辑语言是L，其紧致性定理是：

L的任一语句集a有模型，当且仅当a的每个有穷子集有模型，亦即，语言L是(，）紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数k称为弱紧2基数，是指语言Lkk是(k，k）紧的，即对于Lkk的任何基数≤k的语句集a，a有模型，当且仅当a的每个基数k的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：

k是弱紧1基数，当且仅当k是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数

可测基数：(在拉姆齐基数后）

为了定义这个概念，人们在基数k上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数k，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得k本身很大，?并且所有单例{a}，a∈k很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集k大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFc证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数k，使得在k的幂集上存在k加性、非平凡、o-1值测度。

（这里术语k-additive意味着，对于任何序列aa，a＜λ的基数λ＜k，aa是成对相交的小于k的序数集，aa的并集的度量等于个人aa的措施。）将满足集合a上的下一个的滤波器f称为滤波器，对于所有的xa，x∈F或ax∈F上存在-完备非一元滤波器，当k为不可数基数，k上存在k-完备非一元滤波器时，k称为可数基数

定理(ZFc）

可测基数为不可达基数，可预测基数公理(meas）:“存在可预测基数。”可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上k-完备非一元滤波器对v的幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→m，并给出了《φ(x1，。。。，xn）：L∈-理论式》

?x1，。。。，xn∈V(φV(x1，。。。，xn）?φm(j(x1），。。。，j(xn）））

对于所有a＜k，j(a）=a且j(k）＞k将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点

使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。

也是，可测基数是一个不可数的k，因此在k的幂集上存在加性、非平凡、o-1值测度，而k-additive意味着，对于任何序列aa，a＜λ的基数λ＜k，aa是＜k的序数的成对不相交集，aa的并集的度量等于个体aa的测量值。

k是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类m的临界，并使用了模型理论中的强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑能力时通常不存在的技术问题，当且仅当k是具有k完全非主滤器的不可数基数时，k是可测量的基数，这也意味着滤器中任何严格小于k的集合的交集也在滤器中。

强可展开基数：(位于不可描述基数后）

基数k是λ不可展开的，当且仅当对于ZFc的基数k的每个传递模型m负幂集使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，有非-将m的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为k，且j(k）≥λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的，一个基数k是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFc负幂集的基数k的传递模型m使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，存在一个非-将m的平凡基本嵌入j到传递模型“n”中，其中j的临界点为k，j(k）≥λ，并且V(λ）是n的子集，不失一般性，我们也可以要求n包含其所有长度为λ的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。

强基数：如果λ是任何序数，k是λ-strong意味着k是基数并且存在从宇宙V到具有临界点k和Vλ?m也就是说，m在初始段上与V一致。那么k是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。